2次元カオス図形を芸術的に描画する

はじめに

　コンピュータで美しい図形を描画する方法にカオス写像があります。なかでも、特に美しいとされる2次元モデルを、多くの試行結果を基に紹介します。

• 完成版のアプレット（エノン写像）を見る
• 完成版のアプレット（グモウスキー・ミラ写像）を見る
アプレットの操作方法は、プログラムの使い方を参照してください。

対象読者

　カオス理論に興味があり、カオス図形を自分で描いてみたい人。

必要な環境

　J2SE 5.0を使っていますが、これより古いバージョンでも大丈夫です。ある程度のCPUパワーがある方が、ストレスがありません。

カオスとは

　カオス（Chaos）とは、一般的な用語としては、「混沌」や「無秩序」と訳され、あまり良い意味ではありません。しかし、数学や物理学の用語としては、

1. 簡単な一定の式の繰返し計算の結果である（決定論的（deterministic）カオス）
2. 初期状態のわずかな違いが大きな変化をもたらす（バタフライ効果、1963年にLorenzが命名）
3. 同じ値を繰り返さない乱数的動作で予測できない

　などを意味し、結果的に「無秩序」のように見えても、実は非常に簡単な式によって支配されていという興味深いテーマです。

　カオスとフラクタルは、良く同時に論じられます。カオスは、繰返し計算による写像の動きに注目し、フラクタルはその軌跡に注目したものです。たとえば、3次元カオスモデルのローレンツ・アトラクタの断面には、フラクタル性が見られます。

1次元モデル

　カオスの例として良く紹介されるのは、動物の増殖モデルとしてのの繰返しです。これは、xのみが時間と共に変化する非常に簡単な1次元モデルで、1976年にRobert Mayがカオス性を発表し、ロジスティック写像と呼ばれます。カオス理論的には重要でありますが、美的なものではありません。

3次元モデル

　次に有名なのが、それぞれ時間tの関数であるx、y、zの3元非線形常微分方程式の解として得られるローレンツ・アトラクタ（Lorenz Attractor）です。これは、米国の気象学者でMIT（マサチューセッツ工科大学）のEdward Lorenzが1963年に発表したものです。これは3次元図形として描かれ、平面に投影すると、蝶の羽根のように見えたり（バタフライ）、フクロウの眼のように見えたり（オウル）します。アトラクタですから、発散することなく、一定の範囲内を動き回りますが、形状に興味はあるものの、それほど美しいとはいえません。